已知椭圆的左焦点F为圆的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为。（I）求椭圆方程；（II）已知经过点F的动直线与椭圆交于不同的两点A、B，点M（），证明：为定值。

Question

已知椭圆 的左焦点F为圆 的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为 。
（I）求椭圆方程；
（II）已知经过点F的动直线 与椭圆交于不同的两点A、B，点M（ ），证明： 为定值。

Answer 1

已知椭圆 的左焦点F为圆 的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为 。
（I）求椭圆方程；
（II）已知经过点F的动直线 与椭圆交于不同的两点A、B，点M（ ），证明： 为定值。

（I） （II）当直线 与 轴垂直时， 的方程为
，当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，由 得 ， ， ，所以， 为定值，且定值为

试题分析：（1）因为圆 的圆心为 ，半径 ，所以椭圆的半焦距
又椭圆上的点到点F的距离最小值为 ，所以 ，即
所以，所求椭圆的方程为    2分
（2）①当直线 与 轴垂直时， 的方程为 ，可求得
此时，   4分
②当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为
由 得     6分
设 ，则    7分
因为





所以， 为定值，且定值为    13分
点评：本题第二问中直线与椭圆相交时需注意讨论直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时常联立方程组，利用根与系数的关系求解化简