如图，设椭圆x216+y27＝1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2的内切圆的面积为π，设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则|y1-y2|值为8383．

Question

如图，设椭圆(x2)/(16)+(y2)/(7)＝1的左右焦点分别为F₁、F₂，过焦点F₁的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF₂的内切圆的面积为π，设A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则|y₁-y₂|值为

(8)/(3)

(8)/(3)

．

Answer 1

∵椭圆(x2)/(16)+(y2)/(7)＝1中，a²=16且b²=4，
∴a=4，c=√(a2−b2)=3，可得椭圆的焦点分别为F₁（-3，0）、F₂（ 3，0），
设△ABF₂的内切圆半径为r，
∵△ABF₂的内切圆面积为S=πr²=π，∴r=4，
根据椭圆的定义，得|AB|+|AF₂|+|BF₂|=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=4a=16．
∴△ABF₂的面积S=(1)/(2)（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）×r=(1)/(2)×16×1=8
又∵△ABF₂的面积S=S△AF1F2+S△BF1F2=(1)/(2)×|y₁|×|F₁F₂|+(1)/(2)×|y₂|×|F₁F₂|
=(1)/(2)×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=3|y₂-y₁|（A、B在x轴的两侧）
∴3|y₂-y₁|=8，解之得|y₂-y₁|=(8)/(3)．
故答案为：(8)/(3)