已知F、B分别为椭圆的右焦点和下顶点,A为该椭圆右准线上一点,且向量FA=-2向量FB,已知F、B分别为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点和下顶点,A为该椭圆右准线上一点,且向量FA=-2向量FB,则该椭圆

Question

已知F、B分别为椭圆的右焦点和下顶点,A为该椭圆右准线上一点,且向量FA=-2向量FB,
已知F、B分别为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点和下顶点,A为该椭圆右准线上一点,且向量FA=-2向量FB,则该椭圆的离心率为
答案是√3/3

Answer 1

连接BF并延长之,交右准线于A.向量FA=-2向量FB,即为向量FA=2向量BF
BF+FA=3BF=BA BF/(a^2/c)=c/a (椭圆定义） BF=a BA=3a
(3a)^2-(a^2/c)^2=(3b)^2
9a^2-(a^4/C^2)=9(a^2-c^2)等式两边同除以a^2:
9-(1/e)^2=9(1-e^2)
1/e=3e e^2=1/3 e=√3/3即为所证.