在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切，且圆O1，O2都在射线y=mx（m>0，x>0）上．（1）若O1的坐标为（3，1），过直线x-y+2=0上的一点P作圆O1的切线，切点分别为A，B两点，求PA

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O₁，圆O₂均与x轴相切，且圆O₁，O₂都在射线y=mx（m>0，x>0）上．
（1）若O₁的坐标为（3，1），过直线x-y+2=0上的一点P作圆O₁的切线，切点分别为A，B两点，求PA长度的最小值；
（2）若圆O₁，圆O₂的半径之积为2，Q（2，2）是两圆的一个公共点，求两圆的另一条公切线的方程．

Answer 1

（1）由题意，圆O₁的半径r=1，所以PA=√(O1P2-1)，
所以O₁P取最小值时，PA有最小值，
O₁到直线x-y+2=0的距离d=(|3-1+2|)/(√(2))=2√(2)，所以O₁P最小值为2√(2)，
所以PA长度的最小值为√(7)；
（2）因为圆O₁，O₂都在射线y=mx（m>0，x>0）上，
所以圆O₁，O₂的坐标可设为O₁（(r1)/(m)，r₁），O₂（(r2)/(m)，r₂），
因为Q（2，2）是两圆的一个公共点，
所以（2-(r1)/(m)）²+（2-r₁）²=r₁²，（2-(r2)/(m)）²+（2-r₂）²=r₂²，
所以r₁²-4m（m+1）r₁+8m²=0，r₂²-4m（m+1）r₂+8m²=0，
所以r₁、r₂是r²-4m（m+1）r₁+8m²=0的两个根，
因为r₁r₂=8m²=2（m>0），所以m=(1)/(2)，
因为两圆的另一条公切线的倾斜角是直线OO₁的倾斜角的两倍，
所以两圆的另一条公切线的斜率为(2m)/(1-m2)=(4)/(3)，
所以两圆的另一条公切线的方程y=(4)/(3)x．