已知圆O：x^2+y^2=4,点P为直线l：x=4上的动点.若点A（-2,0）,B（2,0）,直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为M,N,求证：直线MN经过定点（1,0

Question

已知圆O：x^2+y^2=4,点P为直线l：x=4上的动点.若点A（-2,0）,B（2,0）,直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为M,N,求证：直线MN经过定点（1,0

Answer 1

设P、M、N的坐标分别为(4,m)、(x1,y1)、(x2,y2),则PA的方程为y/(x+2)=m/6,即y=m(x+2)/6代入圆的方程并整理得(m^2+36)x^2+4m^2x+4m^2-144=0,由韦达定理知-2+x1=-4m^2/(m^2+36),所以x1=-4m^2/(m^2+36)+2；又PB的方程为y=m(x-2)/2,代入圆的方程并整理得(m^2+4)x^2-4m^2x+4m^2-16=0,由韦达定理知2+x2=4m^2/(m^2+4),所以x2=4m^2/(m^2+4)-2,则(y1-0)/(x1-1)=m/6[-4m^2/(m^2+36)+4]/[-4m^2/(m^2+36)+1]=8m/(12-m^2),(y2-0)/(x2-1)=m/2[4m^2/(m^2+4)-4]/[4m^2/(m^2+4)-3]=8m/(12-m^2),则(y1-0)/(x1-1)=(y2-0)/(x2-1),所以(x1,y1)、(x2,y2)、(1,0)共线,所以直线MN过定点（1,0）.