（2013•无锡）如图，直线x=-4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=-4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．（1）求点

Question

（2013•无锡）如图，直线x=-4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=-4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．

Answer 1

（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F．
由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①．
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴(AF)/(AE)=(AD)/(AB)=(1)/(2)，即AE=2AF②，
①与②联立，解得AE=2，AF=1，
∴点A的坐标为（-2，0）；

（2）∵抛物线过原点（0，0），
∴可设此抛物线的解析式为y=ax²+bx．
∵抛物线过原点（0，0）和A点（-2，0），
∴对称轴为直线x=(−2+0)/(2)=-1，
∵B、C两点关于直线x=-1对称，B点横坐标为-4，
∴C点横坐标为2，
∴BC=2-（-4）=6．
∵抛物线开口向上，
∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，
∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：
①当OB=BC时，设B（-4，y₁），
则16+

y

2 1

=36，解得y₁=±2√(5)（负值舍去）．
将A（-2，0），B（-4，2√(5)）代入y=ax²+bx，
得

4a−2b＝0

16a−4b＝2√(5)

，解得

作业帮用户 2017-10-27

问题解析

（1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出(AF)/(AE)=(AD)/(AB)=(1)/(2)，即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A的坐标；
（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的解析式为y=ax²+bx，再根据抛物线过原点（0，0）和A点（-2，0），求出对称轴为直线x=-1，则由B点横坐标为-4得出C点横坐标为2，BC=6．再由OB＞OC，可知当△OBC是等腰三角形时，可分两种情况讨论：①当OB=BC时，设B（-4，y₁），列出方程，解方程求出y₁的值，将A，B两点坐标代入y=ax²+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②当OC=BC时，设C（2，y₂），列出方程，解方程求出y₂的值，将A，C两点坐标代入y=ax²+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数的对称性，相似三角形的判定与性质，运用待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形的性质，两点间的距离公式等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

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