怎么证明一个函数的不动点包含稳定点对于函数f(x),若有f(x)=x则称x为该函数的"不动点",若f[f(X)]=x则称x为该函数的"稳定点".如果函数f(X)的"不动点"和"稳定点"分别记为集合A和B.怎么证明A包含于

Question

怎么证明一个函数的不动点包含稳定点
对于函数f(x),若有f(x)=x则称x为该函数的"不动点",若f[f(X)]=x则称x为该函数的"稳定点".如果函数f(X)的"不动点"和"稳定点"分别记为集合A和B.怎么证明A包含于B 若f(X)=aX2-1且A=B不等于空,求a的范围.
注意:aX2是a倍x的2次方.(求高手解决此题)

Answer 1

若x是不动点,那么有
f(x)=x
所以f(f(x))=f(x)=x
所以x也是稳定点,
所以A包含于B．
由题目知
ax^2-1=x与a(ax^2-1)^2-1=x
同解．
首先A不为空,即
ax^2-x-1=0是有解的,
所以△=1+4a≥0
即a≥-1/4
其次
对于x=a(ax^2-1)^2-1
有
x=a^3x^4-2a^2x^2+a-1
由于A=B
因此将
ax^2-1=x
代入得：
ax^2-1=a^3x^4-2a^2x^2+a-1
所以
a^3x^4-(2a^2+a)x^2+a=0
所以
a^2x^4-(2a+1)x^2+1=0是没有解的
因为如果有解,则会出现不满足A的x
所以
△＝(2a+1)^2-4a^2=4a-3