已知抛物线E：x2=4y，直线l过点M（0，2）且与抛物线交于A、B两点，直线OA、OB分别与抛物线的准线l0交于C、D．（1）若点P是抛物线y＝16x2+12上任意一点，点P在直线l0上的射影为Q，求证：PQ=PM；

Question

已知抛物线E：x²=4y，直线l过点M（0，2）且与抛物线交于A、B两点，直线OA、OB分别与抛物线的准线l₀交于C、D．
（1）若点P是抛物线y＝(1)/(6)x2+(1)/(2)上任意一点，点P在直线l₀上的射影为Q，求证：PQ=PM；
（2）求证：

OA

•

OB

为定值；
（3）求CD的最小值．

Answer 1

（1）∵点P是抛物线y＝(1)/(6)x2+(1)/(2)上任意一点，
∴设P（x₀，(1)/(6)x02+(1)/(2)），
抛物线E：x²=4y的准线方程l₀为y=-1．
∵点P在直线l₀上的射影为Q，
∴PQ=(1)/(6)x02+(3)/(2)，
∵M（0，2），∴PM=√((x0−0)2+((1)/(6)x02−(3)/(2))2)=(1)/(6)x02+(3)/(2)，
∴PQ=PM．
（2）证明：由题设知直线AB的斜率一定存在，设AB：y=kx+2，
由

x2＝4y

y＝kx+2

，得x²-4kx-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-8，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-8k²+8k²+4=4，
∵

作业帮用户 2017-10-15

问题解析

（1）设P（x₀，(1)/(6)x02+(1)/(2)），抛物线E：x²=4y的准线方程l₀为y=-1．由点P在直线l₀上的射影为Q，知PQ=(1)/(6)x02+(3)/(2)，由M（0，2），知PM=√((x0−0)2+((1)/(6)x02−(3)/(2))2)=(1)/(6)x02+(3)/(2)，由此能够证明PQ=PM．
（2）由题设知直线AB的斜率一定存在，设AB：y=kx+2，由

x2＝4y

y＝kx+2

，得x²-4kx-8=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-8，y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-8k²+8k²+4=4，由此能够证明

OA

•

OB

为定值．
（3）由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），C，D都在直线l₀：y=-1上，知C(−(x2)/(y2)，−1)，D（-(x1)/(y1)，−1），故CD=|(x2)/(y2)−(x1)/(y1)|=(|x2y1−x1y2|)/(y1y2)=(|x2(kx1+2)−x1(kx2+2)|)/(4)=(|x1−x2|)/(2)，由此能求出CD的最小值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．

考点点评：

本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

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