已知△ABC的顶点A（0,3）,底边BC在x轴上且|BC|=2,当BC在x轴上滑动时.(1)求△ABC外心P的轨迹方程；(2)若直线l过点Q(0,2)且直线l被(1)所求得的轨迹截得的线段常为(5√5)/2,求直线l的方程.PS：(5√5)/2

Question

已知△ABC的顶点A（0,3）,底边BC在x轴上且|BC|=2,当BC在x轴上滑动时.
(1)求△ABC外心P的轨迹方程；
(2)若直线l过点Q(0,2)且直线l被(1)所求得的轨迹截得的线段常为(5√5)/2,求直线l的方程.
PS：(5√5)/2为“二分之五根号五”
(2）利用弦长公式列出方程可求解。
请写出详细过程，我还是不会做，谢谢！

Answer 1

（1）设点P(x,y),B(a,0)C(a+2,0)
因为P为三角形ABC的外心,所以|PA|=|PB|=|PC|
利用|PB|=|PC|得x=a+1;
利用|PA|+|PB|得x^2+(y-3)^2=(x-a)^2+y^2;
由又上两式消去参数a得x^2=6y-8
即为所求点P的轨迹方程.
（2）设所求直线方程为y=kx+2,直线l与曲线x^2=6y-8的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)
由方程组y=kx+2和x^2=6y-8得 x^2-6kx-4=0
由根与系数关系得x1x2=-4,x1+x2=6k
又因|AB|=√(1+k^2)|x1-x2|得
|AB|^2=(1+k^2)((x1+x2)^2-4x1x2)
化简得9k^4+13k^2-(61/16)=0
解得k^2=1/4,所以k=±（1/2）
所以直线l的方程为y=±（1/2）x+2