已知抛物线C：y1=a（x-h）2-1，直线l：y2=kx-kh-1．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）当a=-1，m≤x≤2时，y1≥x-3恒成立，求m的最小值；（3）当0<a≤2，k>0时，若在直线l下方的抛物线C

Question

已知抛物线C：y₁=a（x-h）²-1，直线l：y₂=kx-kh-1．
（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（2）当a=-1，m≤x≤2时，y₁≥x-3恒成立，求m的最小值；
（3）当0<a≤2，k>0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．

Answer 1

（1）抛物线C的顶点坐标为（h，-1），
当x=h 时，y₂=kh-kh-1=-1，
所以直线l恒过抛物线C的顶点；
  （2）当a=-1时，抛物线C解析式为y₁=-（x-h）²-1，
不妨令y₃=x-3 
如图1所示：抛物线C的顶点在直线y=-1上移动，

当m≤x≤2时，y₁≥x-3恒成立，
则可知抛物线C的顶点为（2，-1），
设抛物线C与直线y₃=x-3 除顶点外的另一交点为M，
此时点M的横坐标即为m的最小值，
由

y=-(x-2)2-1

y=x-3

，解得：x=1，x=2，
所以m的最小值为1．
（3）如图2所示：由（1）可知：抛物线C与直线l都过点A（h，-1）．

当0<a≤2时，k>0，在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当x=h+2时，y₂>y₁恒成立．
所以k（h+2）-kh-1>a（h+2-h）²-1，整理得：k>2a．
又因为0<a≤2，
所以0<2a<4，所以k>4．