设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．（1）写出函数y=g（x）的解析式；（2）若当x∈[a+2，a+3]时，

Question

设函数f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式；
（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围；
（3）把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，函数F（x）=2a^1-h（x）-a^2-2h（x）+a^-h（x），（a＞0，且a≠1）在[(1)/(4)，4]的最大值为(5)/(4)，求a的值．

Answer 1

（本小题满分12分）
（1）设点Q的坐标为（x'，y'），则x'=x-2a，y'=-y，即x=x'+2a，y=-y'．
∵点P（x，y）在函数y=log_a（x-3a）图象上
∴-y'=log_a（x'+2a-3a），即y′＝loga(1)/(x′−a)
∴g(x)＝loga(1)/(x−a)
（2）由题意x∈[a+2，a+3]，则x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0，(1)/(x−a)＝(1)/((a+2)−a)＞0．
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，|f(x)−g(x)|＝|loga(x−3a)−loga(1)/(x−a)|＝|loga(x2−4ax+3a2)|
∵|f（x）-g（x）|≤1∴−1≤loga(x2−4ax+3a2)≤1，r（x）=x²-4ax+3a²对称轴为x=2a
∵0＜a＜1∴a+2＞2a，则r（x）=x²-4ax+3a²在[a+2，a+3]上为增函数，
∴函数u(x)＝loga(x2−4ax+3a2)在[a+2，a+3]上为减函数，
从而[u（x）]_max=u（a+2）=log_a（4-4a）．
[u（x）]_min=u（a+3）=log_a（9-6a），
又0＜a＜1，则

loga(9−6a)≥−1

loga(4−4a)≤1

∴0＜a≤(9−√(57))/(12)
（3）由（1）知g(x)＝loga(1)/(x−a)，而把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，则h(x)＝loga(1)/(x)＝−logax，
∴F(x)＝2a1−h(x)−a2−2h(x)+a−h(x)＝2a1+logax−a2+2logax+alogax＝2ax−a2x2+x，
即F（x）=-a²x²+（2a+1）x，又a＞0，且a≠1，F（x）的对称轴为x＝(2a+1)/(2a2)，又在[(1)/(4)，4]的最大值为(5)/(4)，
①令(2a+1)/(2a2)＜(1)/(4)⇒a2−4a−2＞0⇒a＜2−√(6)(舍去)或a＞2+√(6)；此时F（x）在[(1)/(4)，4]上递减，∴F（x）的最大值为F((1)/(4))＝(5)/(4)⇒−(1)/(16)a2+(1)/(4)(2a+1)＝(5)/(4)⇒a2−8a+16＝0⇒a＝4∉(2+√(6)，+∞)，此时无解；
②令(2a+1)/(2a2)＞4⇒8a2−2a−1＜0⇒−(1)/(4)＜a＜(1)/(2)，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜(1)/(2)；此时F（x）在[(1)/(4)，4]上递增，∴F（x）的最大值为F(4)＝(5)/(4)⇒−16a2+8a+4＝(5)/(4)⇒a＝(1±4√(2))/(4)，又0＜a＜(1)/(2)，∴无解；
③令(1)/(4)≤(2a+1)/(2a2)≤4⇒

a2−4a−2≤0

8a2−2a−1≥0

⇒

2−√(6)≤a≤2+√(6)

a≤−(1)/(4)或a≥(1)/(2)

且a＞0，且a≠1
∴(1)/(2)≤a≤2+√(6)且a≠1，此时F（x）的最大值为F((2a+1)/(2a2))＝(5)/(4)⇒−a2((2a+1)2)/(4a4)+((2a+1)2)/(2a2)＝(5)/(4)⇒((2a+1)2)/(4a2)＝(5)/(4)⇒a2−4a−1＝0，
解得：a＝2±√(5)，又(1)/(2)≤a≤2+√(6)且a≠1，∴a＝2+√(5)；
综上，a的值为2+√(5)．