已知函数f（x）=acosx+xsinx，x∈[-π2，π2]．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求集合A={x|f（x）=0}中元素的个数；（Ⅲ）当1<a<2时，问函数f（x）有多少个极值点？（

Question

已知函数f（x）=acosx+xsinx，x∈[-(π)/(2)，(π)/(2)]．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）求集合A={x|f（x）=0}中元素的个数；
（Ⅲ）当1<a<2时，问函数f（x）有多少个极值点？（只需写出结论）

Answer 1

（共13分）
（Ⅰ）函数f（x）是偶函数，证明如下：…（1分）
对于∀x∈[-(π)/(2)，(π)/(2)]，则-x∈[-(π)/(2)，(π)/(2)]．…（2分）
因为 f（-x）=acos（-x）-xsin（-x）=acosx+xsinx=f（x），
所以 f（x）是偶函数．…（4分）
（Ⅱ）当a>0时，因为 f（x）=acosx+xsinx>0，x∈[-(π)/(2)，(π)/(2)]恒成立，
所以 集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为0．…（5分）
当a=0时，令f（x）=xsinx=0，由x∈[-(π)/(2)，(π)/(2)]，
得 x=0．
所以 集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为1．…（6分）
当a<0时，因为 f′(x)=-asinx+sinx+xcosx=(1-a)sinx+xcosx>0，x∈(0，(π)/(2))，
所以 函数f（x）是[0，(π)/(2)]上的增函数．…（8分）
因为 f(0)=a<0，f((π)/(2))=(π)/(2)>0，
所以 f（x）在(0，(π)/(2))上只有一个零点．
由f（x）是偶函数可知，集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为2．…（10分）
综上所述，当a>0时，集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为0；当a=0时，集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为1；当a<0时，集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为2．
（Ⅲ）函数f（x）有3个极值点．…（13分）