已知O为三角形ABC的外心,若5OA+12OB+13OC=0（OA,OB,OC均为向量）

Question

已知O为三角形ABC的外心,若5OA+12OB+13OC=0（OA,OB,OC均为向量）

Answer 1

外心的题目不好做的：5OA+12OB-13OC=0,即：5OA+12OB=13OC即：13^2|OC|^2=(5OA+12OB)·(5OA+12OB)=5^2|OA|^2+12^2|OB|^2+120OA·OB=5^2|OA|^2+12^2|OB|^2+120|OA|*|OB|*cos(∠AOB)O是外心,故：|OA|=|OB|=|OC|即：13^2=5^2+12^2+120cos(∠AOB)即：cos(∠AOB)=0,即：∠AOB=π/2注意,因为向量夹角的范围是[0,π],所以∠AOB只能给出π/2但实际上OA与OB在三角形中成的角可以是大于π的即对应O点在三角形外的情况,此时,∠C为大于π/2的角其实此题的∠AOB要按照三角形里的角来处理即：∠AOB=3π/2,故：∠ACB=∠AOB/2=3π/4主要依据：13OC=5OA+12OB,说明OC的方向要在OA和OB之间这里用的又是向量的夹角概念,即说明O点在三角形外如果题干换作：5OA+12OB+13OC=0,则：∠ACB=π/4