如图,设def分别为三角形abc三边的中点.若G是三角形ABC的重心求证G是三角形DEF的重心若H是三角形ABC的外心,求证H是三角形DEF的垂心

Question

如图,设def分别为三角形abc三边的中点.若G是三角形ABC的重心求证G是三角形DEF的重心
若H是三角形ABC的外心,求证H是三角形DEF的垂心

Answer 1

设D、E、F分别为AB、BC、AC中点,
1 若G是三角形ABC的重心,则G在AE BF CD上.
由中位线特性容易证明,ADEF BDFE CFDE为平行四边形（对角线互相平分）.AE BF CD分别为它们的对角线,过DE EF DF的中点.所以AE BF CD也是三角形DEF的中线,三条中线有共同的焦点G 所以G也是三角形DEF的重心.
2 若H是三角形ABC的外心,则H在AB BC AC的中垂线DH EH FH上.由中位线特性可以证明,DH⊥AB EH⊥DF FH⊥AC H是三角形DEF的垂心