如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的O与边BC相切于点E．（1）若AC=5，BC=13，求O的半径；（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的 O与边BC相切于点E．

（1）若AC=5，BC=13，求 O的半径；
（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．

Answer 1

（1） 连接OE，设圆O半径为人，
在Rt△ABC中，BC=13，AC=5，
根据勾股定理得：AB=√(BC2-AC2)=12，
∵BC与圆O相切，
∴OE⊥BC，
∴∠OEB=∠BAC=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BOE∽△BCA，
∴(OE)/(AC)=(BO)/(BC)，即(r)/(5)=(12-r)/(13)，
解得：r=(10)/(3)；
（2）∵

AE

=

AE

，∠F=2∠B，
∴∠AOE=2∠F=4∠B，
∵∠AOE=∠OEB+∠B，
∴∠B=30°，∠F=60°，
∵EF⊥AD，
∴∠EMB=∠CAB=90°，
∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，
∴CB∥AF，
∴四边形ACEF为平行四边形，
∵∠CAB=90°，OA为半径，
∴CA为圆O的切线，
∵BC为圆O的切线，
∴CA=CE，
∴平行四边形ACEF为菱形．