（2013•海南）（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的

Question

（2013•海南）（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；
（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．
①若CD=2PC时，求证：BP⊥CF；
②若CD=n•PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S₁，△DPE的面积为S₂．求证：S₁=（n+1）S₂．

Answer 1

证明：（1）在△BCP与△DCE中，

BC＝CD

∠BCP＝∠DCE＝90°

CP＝CE

，
∴△BCP≌△DCE（SAS）．

（2）①∵CP=CE，∠PCE=90°，
∴∠CPE=45°，
∴∠FPD=∠CPE=45°，
∴∠PFD=45°，
∴FD=DP．
∵CD=2PC，
∴DP=CP，
∴FD=CP．
在△BCP与△CDF中，

BC＝CD

∠BCP＝∠CDF＝90°

CP＝FD

，
∴△BCP≌△CDF（SAS）．
∴∠FCD=∠CBP，
∵∠CBP+∠BPC=90°，
∴∠FCD+∠BPC=90°，
∴∠PGC=90°，即BP⊥CF．
②证法一：设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD-CP=n-1．
易知△FDP为等腰直角三角形，
∴FD=DP=n-1．
S₁=S_梯形BCDF-S_△BCP-S_△FDP
=(1)/(2)（BC+FD）•CD-(1)/(2)BC•CP-(1)/(2)FD•DP
=(1)/(2)（n+n-1）•n-(1)/(2)n×1-(1)/(2)（n-1）²
=(1)/(2)（n²-1）；
S₂=(1)/(2)DP•CE=(1)/(2)（n-1）×1=(1)/(2)（n-1）．
∵n²-1=（n+1）（n-1），
∴S₁=（n+1）S₂．
证法二：
∵AD∥BE，
∴△FDP∽△ECP，
∴(FP)/(PE)＝(DP)/(PC)=(n−1)/(1)，
∴S₁=