如图,三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上,试探究线段BE和CD的数量关系,并证明你的结论.

Question

如图,三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延
长线上,试探究线段BE和CD的数量关系,并证明你的结论.

Answer 1

CD=2BE.
证明：
分别延长CA、BE相交于F,
∵CD平分∠ACB,∴∠ECB=∠CEF,
∵∠CEB=∠CEF=90°,CE=CE,
∴ΔCEB≌ΔCEF,∴BE=BF,∴BF=2BE,
∵∠BAC=90°,CE⊥BF,
∴∠ABF+∠F=∠ACD+∠F=90°,
∴∠ABF=∠ACD,
∵∠BAF=∠CAD=90°,AB=AC,
∴ΔABF≌ΔACD,
∴CD=BF=2BE.