（2013•嘉定区一模）已知：点D是Rt△ABC的BC边的一个动点（如图），过点D作DE⊥AB，垂足为E，点F在AB边上（点F与点B不重合），且满足FE=BE，联结CF、DF．（1）当DF平分∠CFB时，求证：CFCB＝BDFB

Question

（2013•嘉定区一模）已知：点D是Rt△ABC的BC边的一个动点（如图），过点D作DE⊥AB，垂足为E，点F在AB边上（点F与点B不重合），且满足FE=BE，联结CF、DF．
（1）当DF平分∠CFB时，求证：(CF)/(CB)＝(BD)/(FB)：
（2）若AB=10，tanB=(3)/(4)．当DF⊥CF时，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：∵DF平分∠CFB，
∴∠CFD=∠EFD，
∵DE⊥AB，FE=BE，
∴DF=BD，
∴∠EFD=∠DBF，
∵∠FCD=∠BCF，
∴△CFD∽△CBF，
∴(CF)/(CB)＝(FD)/(FB)，
∵DF=BD，
∴(CF)/(CB)＝(BD)/(FB)；

（2）∵AB=10，tanB=(3)/(4)，
∴AC=6，BC=8，
∵tanB=(3)/(4)．设DE=3x，则BE=4x，则BD=5x，CD=BC-BD=8-5x，
∵DE⊥AB，FE=BE，
∴DF=BD，
∴∠DFB=∠B，
∵DF⊥CF，
∴∠AFC+∠BFD=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠AFC，
∴AC=FC=6，
∴6²+（5x）²=（8-5x）²，
解得：x=(7)/(20)，
故当DF⊥CF时，BD的长是(7)/(4)．