数学单调证明题设在区间[0,+∞）上,函数f(x)满足f(0)=0,f'(x)单调递增,证明:F(x)=f(x)/x在(0,+∞)内单调递增

Question

数学单调证明题
设在区间[0,+∞）上,函数f(x)满足f(0)=0,f'(x)单调递增,证明:F(x)=f(x)/x在(0,+∞)内单调递增

Answer 1

对F(x)=f(x)/x求导,
F‘(x)= [f'(x)*x-f(x)] / (x^2) x>0
令G（x）=f'(x)*x-f(x) (即F’（x）的上面部分)
再对[f'(x)*x-f(x)] 求导,得 G‘（x）=f''(x)*x
因为f'(x)单调递增 ,故f''(x)在区间内是大于0的,故G‘（x）>0,即G(x)在区间内单调递增,
而G(0)=f'(0)*0-f(0)=0-0=0 故,当x>0,G（x）>0
故当x>0,F‘(x)>0
故F(x)单调递增