请教一道高数题设f(x)在x=0处二阶可导,又x趋向于0时,f(x)/(1-cosx)=A,求f(x)在x=0的一阶导数和二阶导数.为什么用导数定义做出来的是A/2,而用泰勒公式做出来的是A,我错在哪里了,能不能用洛必

Question

请教一道高数题
设f(x)在x=0处二阶可导,又x趋向于0时,f(x) / (1-cosx) =A ,求 f(x)在x=0的一阶导数和二阶导数.
为什么用导数定义做出来的是A/2,而用泰勒公式做出来的是A,我错在哪里了,能不能用洛必达法则?

Answer 1

根据提议知f(0)=0
f`(0)=lim(x-->0)f(x)-f(0)/x=lim(x-->0)f(x)(1-cosx)/x(1-cosx)
=lim(x-->0)f(x)/(1-cosx)*lim(x-->0)(1-cosx)/x=0
f``(0)=lim(x-->0)f`(x)-f`(0)/x=lim(x-->0)f`(x)/x=lim(x-->0)2f(x)/x^2=lim(x-->0)2f(x)(1-cosx)/(1-cosx)x^2
=lim(x-->0)f(x)/(1-cosx)*lim(x-->0)2(1-cosx)/x^2=A
泰勒公式f(x)=f(0)+f`(0)x+f``(ξ)x^2/2 ξ介于0和x之间
f(0)=f`(0)=0则f(x)=+f``(ξ)x^2/2
所以lim(x-->0)f``(ξ)x^2/2/(1-cosx)=A==>lim(x-->0)f``(ξ)x^2/x^2=A==>f``(0)=A