求曲线方程一曲线通过点（2,0）,并具有一种特性,即在切点和纵坐标轴间的切线段有定长2,求此曲线.

Question

求曲线方程
一曲线通过点（2,0）,并具有一种特性,即在切点和纵坐标轴间的切线段有定长2,求此曲线.

Answer 1

为简单起见,不考虑分段的曲线.
由于切线和y轴不平行,所以总可以写成y=kx+b的形式,从而曲线可以写成y=f(x)的形式.
对于曲线上的点(x0,y0),切线为y-y0=f'(x0)(x-x0),和y轴的交点(0,y1)满足
y1-y0=-f'(x0)x0,从而且点与(0,y1)的距离为
sqrt[x0^2+(y1-y0)^2]=2
消去y1,y0得x0^2+f'(x0)^2x0^2=4,也就是说曲线满足微分方程
x^2+f'(x)^2x^2=4
于是f'(x)=sqrt(4-x^2)/x或f'(x)=-sqrt(4-x^2)/x
这个已经分离变量了,然后做三角代换不定积分一下就行了,最后利用曲线(2,0)点来确定常数,你自己去算.