假设在过点O（0，0）和A（π，0）的曲线族y=asinx（a＞0）中，有一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L（假设在过点O（0，0）和A（π，0）的曲线族y=asinx（a＞0）中，有一条曲线L，使沿该曲线

Question

假设在过点O（0，0）和A（π，0）的曲线族y=asinx（a＞0）中，有一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L（
假设在过点O（0，0）和A（π，0）的曲线族y=asinx（a＞0）中，有一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L（1+y³）dx+（2x+y）dy的值达到最大，则该曲线为______．

Answer 1

对于过点O（0，0）和A（π，0）的曲线族y=asinx，dy=acosx，从而，
 

L

(1+y3)dx+(2x+y)dy
=

∫

π 0

(1+a3sin3x)dx+(2x+asinx)acosxdx
=

∫

π 0

dx+a3

∫

π 0

sin3dx+2a

∫

π 0

xcosxdx+a2

∫

π 0

sinxcosxdx．
因为

∫

π 0

dx=π，
a3

∫

π 0

sin3dx=2a3

∫

(π)/(2) 0

sin3xdx=2a3?(2)/(3?1)?1=(4a3)/(3)，
2a

∫

π 0

xcosxdx=2a(xsinx

|

π 0

?

∫

π 0

sinxdx)=-4a，
a2

∫

π 0

sinxcosxdx=a2

∫

π 0

sinxd(sinx)=(a2)/(2)sin2x

|

π 0

=0，
所以 

L

(1+y3)dx+(2x+y)dy=

作业帮用户 2017-09-25