如图,在三角形ABC中,点P是边AC上的一个动点,过点P作直线MN||BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.（1）若在AC边上存在点p,使四边形AECF是正方形,且AP/BC=根号3/2.求AB/BC的值

Question

如图,在三角形ABC中,点P是边AC上的一个动点,过点P作直线MN||BC,设MN交∠BCA的平分
线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.（1）若在AC边上存在点p,使四边形AECF是正方形,且AP/BC=根号3/2.求AB/BC的值

Answer 1

（1）∵CE平分∠BCA,
∴∠BCE=∠ECP,
又∵MN‖BC,
∴∠BCE=∠CEP,
∴∠ECP=∠CEP,
∴PE=PC；
同理PF=PC,
∴PE=PF；
（2）当点P运动到AC边中点时,四边形AECF是矩形．理由如下：
由（1）可知PE=PF,
∵P是AC中点,
∴AP=PC,
∴四边形AECF是平行四边形．
∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD,
且∠BCA+∠ACD=180°,
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF= 1/2（∠BCA+∠ACD）= 1/2×180°=90°,
∴平行四边形AECF是矩形；
（3）证明：若四边形AECF是正方形,则AC⊥EF,AC=2AP．
∵EF‖BC,
∴AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴cos∠A= AC:BC=2AP:BC= √3,
∴∠A=30°．