如图（1）BD,CE分别是三角形ABC的外角平分线,过A点作AF垂直于BD于点F,AG垂直于CE,连结FG,求证FG=1/2(AB+BC+AC)如图（2）BD,CE分别是三角形ABC的内角平分线,那么（1）中的结论是否成立?如果成立,说明

Question

如图（1）BD,CE分别是三角形ABC的外角平分线,过A点作AF垂直于BD于点F,AG垂直于CE,连结FG,求证FG=1/2(AB+BC+AC)
如图（2）BD,CE分别是三角形ABC的内角平分线,那么（1）中的结论是否成立?如果成立,说明你的理由；如果不成立是找出FG与三角形ABC三边的数量关系.
如图(3),BD为三角形ABC内角平分线,CE为三角形ABC外角平分线,那么（2）中的结论是否成立?如不成立,请写出理由.

Answer 1

（1）证明：∵AF⊥BD,∠ABF=∠MBF,
∴∠BAF=∠BMF,
∴MB=AB,
∴AF=MF,…（3分） 同理可说明：CN=AC,AG=NG …（4分）
∴FG是△AMN的中位线,
∴FG=MN=（MB+BC+CN）=（AB+BC+AC） …（6分）
（2）图（2）中,FG=（AB+AC-BC） …（8分）
图（3）中,FG=（AC+BC-AB） …（10分）
①如图（2）,延长AF、AG,与直线BC相交于M、N,
由（1）中可知,MB=AB,AF=MF,CN=AC,AG=NG,
∴FG=MN=（BM+CN-BC）=（AB+AC-BC）,
②如图（3）延长AF、AG,与直线BC相交于M、N,同样由（1）中可知,MB=AB,AF=MF,CN=AC,AG=NG,
∴FG=MN=（CN+BC-BM）=（AC+BC-AB）