函数g(x)在x=x0处连续,f(u）在u0=G(x0)不连续,则f(G(x))在x=x0点不连续.这个论述错在哪?请详细说明并据反例子.

Question

函数g(x)在x=x0处连续,f(u）在u0=G(x0)不连续,则f(G(x))在x=x0点不连续.
这个论述错在哪?请详细说明并据反例子.

Answer 1

这个论述是错的,f(u)在u0不连续只能说明f(x)在u0左右的极限并不相同,但是
f(G(x))左右的极限却是不一样的,u0的邻域是在f(x)的定义域内考虑的,但是
f(G(x))中G(x0)虽然等于u0,但是这个邻域却变成了G(x)的值域范围,也就是函数的变化范围改变了,那么f(G(x))在x0是有可能连续的.
我举个例子给你看吧,如果分段定义f(x)=大括号2 x=0,也就是当x为0或为正时,f(x)恒为1,当x为负时,f(x)恒为2.显然,0是f(x)的跳跃间断点,是不连续的.有G(x)=x平方,那么g(x)在0处是连续的,而f(G(x))改变了f(x)的形式,f(x)恒取非负的部分,成为常数函数f(x)=1,那么自然在x=0的部分是连续的.
这只是一个简单的例子,其实只要改变函数在奇点一边的极限值与另一端相等,且等与函数在该点的定义值,上面的论述都是可以推翻的.