已知f(x)是定义在[a,b]上的函数,起图像是一条连续不断的曲线,且满足下列条件:1.f(x)的值域为G,且G属于[a,b]2.对任意不同的x,y属于[a,b],都有f(x)-f(y)的绝对值

Question

已知f(x)是定义在[a,b] 上的函数,起图像是一条连续不断的曲线,且满足下列条件:
1.f(x)的值域为G,且G属于[a,b]
2.对任意不同的x,y属于[a,b],都有f(x)-f(y)的绝对值

Answer 1

设g（x）=f（x）-x
由1知g（a）=f（a）-a≥a-a=0,g（b）=f（b）-b≤b-b=0
所以g（x）=0在[a,b]有实数根
设a≤x1≤x2≤b,由2知f（x2）-f（x1）＜x2-x1,f（x2）-x2＜f（x1）-x1,g（x2）＜g（x1）
函数g（x）在区间[a,b]上是减函数,从而函数g（x）在区间[a,b]上有且只有一个零点．