已知二次曲线Ck的方程：x^2/(9-k)+y^2/(4-k)=1（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；（2）若双曲线Ck与直线y=x+1有公共点且实轴最长,求双曲线方程；（3）m、n为正整数,且m

Question

已知二次曲线Ck的方程：x^2/(9-k)+y^2/(4-k)=1
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）若双曲线Ck与直线y=x+1有公共点且实轴最长,求双曲线方程；
（3）m、n为正整数,且m

Answer 1

(1)、椭圆：9-k＞0,4-k＞0,故：k＜4
双曲线：9-k＞0,4-k＜0,故：4＜k＜9
(2)、将y=x+1代入双曲线方程x²/(9-k)-y²/(k-4)=1,得：x²/(9-k)-(x+1)²/(k-4)=1
经整理：(2k-13)x²+2(k-9)x+k²-12k+27=0
Δ=(k-9)²-(2k-13)(k²-12k+27)≥0
经化简,得：(k-4)(k-6)(k-9)≤0
又：4＜k＜9,所以：k-6≥0
故：6≤k＜9
因a²=9-k,故：k=6时,a最大.
此时双曲线为：x²/3-y²/2=1
(3)、首先此两条曲线不能同时为椭圆,或者同时为双曲线,否则没有公共点.
因此,若二者有公共点,那么必然一条为椭圆,另一条为双曲线.
设椭圆方程Cm：x²/(9-m)+y²/(4-m)=1,(m＜4)
双曲线方程Cn：x²/(9-n)-y²/(n-4)=1,(4＜n＜9)
交点P在椭圆Cm上,设P点坐标为：(√(9-m)cosθ,√(4-m)sinθ)
那么：
向量PF1：(-√5-√(9-m)cosθ,-√(4-m)sinθ)
向量PF2：(√5-√(9-m)cosθ,-√(4-m)sinθ)
故：PF1·PF2=(9-m)cos²θ-5+(4-m)sin²θ=0
解得：cos²θ=(m+1)/5,所以：sin²θ=(4-m)/5
那么P点坐标为：(±√[(9-m)(m+1)/5],±(4-m)/√5)……①
交点P又在双曲线Cn上,设P点坐标为：(√(9-n)secα,√(n-4)tanθ)
那么：
向量PF1：(-√5-√(9-n)secα,-√(n-4)tanα)
向量PF2：(√5-√(9-n)secα,-√(n-4)tanα)
故：PF1·PF2=(9-n)sec²α-5+(n-4)tan²α=0
解得：sec²α=(n+1)/5,所以：tan²α=(n-4)/5
那么P点坐标为：(±√[(9-n)(n+1)/5],±(n-4)/√5)……②
因为P是椭圆和双曲线的公共点,那么坐标①和②应该是同一个坐标,所以有：
√[(9-m)(m+1)/5]=√[(9-n)(n+1)/5]以及：(4-m)/√5=(n-4)/√5
可以算出：m=8-n
因4＜n＜9,所以当m、n为正整数时,共有3种情况：
m=3,n=5；m=2,n=6；m=1,n=7
可是我自己拿笔算的啊,真累人.错了轻拍.