已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，离心率为63．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，离心率为(√(6))/(3)．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的方程为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1(a>b>0)…（1分）
又椭圆的一个顶点为A（0，-1），离心率为(√(6))/(3)
∴b=1，e=(c)/(a)=(√(6))/(3)即b=1，c=(√(6))/(3)a…（2分）
又a²=b²+c²∴a2=1+(2)/(3)a2…（3分）
∴a²=3…（4分）
∴椭圆的方程为：(x2)/(3)+y2=1…（5分）
（2）设P（x_P，y_P）、M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N），P为弦MN的中点，
直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）>0，∴m²<3k²+1，①
由韦达定理，可得P（(-3km)/(1+3k2)，(m)/(1+3k2)）
∵|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
∴kAP•k=((m)/(1+3k2)+1)/(-(3km)/(1+3k2))•k=-1
∴2m=3k²+1②
把②代入①得2m>m²解得0<m<2
∵2m=3k²+1>1，∴m>(1)/(2)
∴(1)/(2)<m<2．