（2014•东营一模）已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为27，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tanθ＝32．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ

Question

（2014•东营一模）已知双曲线C：(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2√(7)，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tanθ＝(√(3))/(2)．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设点A是椭圆E的左顶点，P、Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为−(1)/(4)，问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1的焦距2c=2√(7)，则c=√(7)，∴a²+b²=7，①
渐近线方程y=±(b)/(a)x，由题知tanθ=(b)/(a)=(√(3))/(2)，②
由①②解得a²=4，b²=3，
∴椭圆E的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，
由

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

y＝kx+m

，消去y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

作业帮用户 2017-10-05

问题解析

（Ⅰ）根据双曲线的性质计算a，b，c．注意焦点在x轴上的渐近线方程为y＝±(b)/(a)x．
（Ⅱ）当斜率存在时，设出直线方程y=kx+m，再联立椭圆方程和直线方程，设出两个交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据kAP•kAQ＝−(1)/(4)，找出k和m的关系，从而求定点；当斜率不存在时单独讨论．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题是圆锥曲线和直线位置关系的常见类型，都是通过设而不求的方法，联立方程组，再由题目中给定的等式，寻求量与量之间的关系，从而求得定点．另外，直线的斜率是否存在也是需要讨论的情况．这在高考中是常考题型．

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