已知f(x)=e^x,g(x)=lnx(1)求证g(x)＜x＜f(x)(2)设直线L与f(x),g(x)图像均相切,切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),且x1＞x2＞0,求证x1＞1已知f(x)=-1/2ax2+x-ln(1+x),其中a＞0(1)若x=3是函数f(x)的极值点,求a的值(2)求f(x)的

Question

已知f(x)=e^x,g(x)=lnx
(1)求证g(x)＜x＜f(x)
(2)设直线L与f(x),g(x)图像均相切,切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),且x1＞x2＞0,求证x1＞1
已知f(x)=-1/2ax2+x-ln(1+x),其中a＞0
(1)若x=3是函数f(x)的极值点,求a的值
(2)求f(x)的单调区间
(3)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范围.

Answer 1

第一部分从图像看是很显然的结果,所以有很多办法.这里给一个.
设p(x)=x-g(x)=x-lnx,则p'(x)=1-1/x,p''(x)=1/x^2.当p'(x)=0时,x=1,p''(x)>0.所以此处有p(x)的最小值1-ln1=1>0.所以p(x)恒大于零,即x>lnx.同样可证另外一个不等式.或者两边同时取幂.
第二部分直线的斜率为(f(x1)-g(x2))/(x1-x2)=e^x1=1/x2.为了方便,下面用a=x1,b=lnx2.
则 (e^a-b)/(a-e^b)=e^a=e^-b,后面一半等式得到a=-b,代入前面一半消b,得到(e^a+a)/(a-e^-a)=e^a,整理,e^a=(a+1)/(a-1).因为e^a恒大于0,所以a-1>0,a>1,即x1>1.