正项数列{an}满足a1=1，a2=2，又数列{anan+1}是以22为公比的等比数列，则使得不等式1a1+1a2+…+1a2n+1＜1280成立的最大整数n为．

Question

正项数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，又数列{√(anan+1)}是以(√(2))/(2)为公比的等比数列，则使得不等式(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(a2n+1)＜1280成立的最大整数n为______．

Answer 1

∵a₁=1，a₂=2，∴√(a1a2)=√(2)．
又{√(anan+1)}是以(√(2))/(2)为公比的等比数列，
∴√(anan+1)=21−(n)/(2)．
∴a_na_n+1=2^2-n，∴(an+1an+2)/(anan+1)=2^-1=(an+2)/(an)．
∴数列{a_2n-1}是以a₁=1为首项，2^-1为公比的等比数列，∴a_2n-1=2^1-n．∴(1)/(a2n−1)=2^n-1．
数列{a_2n}是以a₂=2为首项，2^-1为公比的等比数列，∴a_2n=2^2-n．∴(1)/(a2n)=2^n-2．
∴(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(a2n+1)=（2⁰+2+2²+…+2ⁿ）+（2^-1+2⁰+2¹+…+2^n-2）
=2ⁿ⁺¹-1+(1)/(2)（2ⁿ-1）=5•2^n-1-(3)/(2)
不等式(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(a2n+1)＜1280，化为5•2^n-1-(3)/(2)＜1280，
∵2⁹=502，2⁸=256．
∴n-1＜9，解得n＜10．
因此使得不等式(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(a2n+1)＜1280成立的最大整数n为9．
故答案为：9．