已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=13，anbn+1+bn+1=nbn．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{bn}的前n项和．

Question

已知{a_n}是公差为3的等差数列，数列{b_n}满足b₁=1，b₂=(1)/(3)，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求{b_n}的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
当n=1时，a₁b₂+b₂=b₁．
∵b₁=1，b₂=(1)/(3)，
∴a₁=2，
又∵{a_n}是公差为3的等差数列，
∴a_n=3n-1，
（Ⅱ）由（I）知：（3n-1）b_n+1+b_n+1=nb_n．
即3b_n+1=b_n．
即数列{b_n}是以1为首项，以(1)/(3)为公比的等比数列，
∴{b_n}的前n项和S_n=(1-((1)/(3))n)/(1-(1)/(3))=(3)/(2)（1-3^-n）=(3)/(2)-(1)/(2•3n-1)．