在正数数列a[n]中,已知a[n]与2的等差中项等于S[n]与2的等比中项,求a[n]通项公式

Question

在正数数列a[n]中,已知a[n]与2的等差中项等于S[n]与2的等比中项,求a[n]通项公式

Answer 1

根据题目可以得出(a[n]-2)=S[n]/2 ,既有
(a[n-1]-2)=S[n-1]/2 S[n]=S[n-1]+a[n]
代入化简可以得到:2a[n-1]=a[n].我们可以进一步得到：a[1]=a[1] a[2]=2a[1]
a[3]=2a[2]=4a[1] a[4]=2a[3]=8a[1]...
当n=1时 还有：a[1]-2=S[1]/2 S[1]=a[1]算出a[1]=4,由此可以得出a[2]=8 a[3]=16
a[4]=32.猜想a[n]=2的（n+1）次方,这个明显是个等比数列.公比q=2
证明该猜想成立：
显然在n=1的时候猜想成立,假设n=m的时候也成立,由求和公式可以得出,S[m]=2[2的(m+1)次方-2] 当n=m+1时候有：S[m+1]=S[m]+a[m+1]代入化简可以得到：S[m+1]=2[2的(m+1+1)次方-2]
所以 猜想成立.
即a[n]=2的（n+1）次方