证明正三角形a、b、c是三个不同的虚数.以abc为顶点的三角形是正三角形.成立的必要十分条件是a2+b2+c2-ab-ac-bc=0满足这个式子.怎么证明阿?abc是不同的复数，打错了

Question

证明正三角形
a、b、c是三个不同的虚数.以abc为顶点的三角形是正三角形.成立的必要十分条件是a2+b2+c2-ab-ac-bc=0满足这个式子.
怎么证明阿?
abc是不同的复数，打错了

Answer 1

设a、b、c为顶点的三角形是正三角形,不妨设a、b、c为逆时针方向旋转,则
cosπ/3+sinπ/3=(1/2)+(√3/2)i=z
(a-b)/(c-b)=z
(b-c)/(a-c)=z
(c-a)/(b-a)=z (此处三个等式
(a-b)/(c-b)=(b-c)/(a-c)
(a-b)(a-c)=-(b-c)^2
a^2-ab-ac+bc=-b^2+2bc-c^2
a^2+b^a+c^2-ab-bc-ca=0
反之设 a^2+b^a+c^2-ab-bc-ca=0
可以得到
a^2-ab-ac+bc=-b^2+2bc-c^2
(a-b)(a-c)=-(b-c)^2
(a-b)/(c-b)=(b-c)/(a-c)
同理可得
(b-c)/(a-c)= (c-a)/(b-a)
从而
(a-b)/(c-b)=(b-c)/(a-c)=(c-a)/(b-a)
得到角a、b、c相等,所以abc为等边三角形.