正三角形ABC的边长为6+2√3,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,则这两个正方形面积和的最小值是多少?

Question

正三角形ABC的边长为6+2√3,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,则这两个正方形面积和的最小值是多少?

Answer 1

设DE=DN=x, EF=FP=y, 则根据正三角形每个角都是60°,DN=根号3 *AD,FP=根号3 * BF,
所以AD=根号3/3 *x, BF=根号3/3 *y ,
AB=AD+DE+EF+FB=(x+y)*(1+根号3/3)=6+2*根号3 ===> x+y=6
两个三角形的面积和 = x^2+y^2 =(6-x)^2+x^2=2x^2-12x+36=2(x-3)^2+18,
当x=3 （此时y也等于3）时,两个三角形的面积和最小,为18