试构造函数f（x）使得：（1）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]；（2）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]且f（x）值域上每一点有且只有一个原象与之对应；（3）f（x）定义域为（0

Question

试构造函数f（x）使得：
（1）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]；
（2）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]且f（x）值域上每一点有且只有一个原象与之对应；
（3）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]且f（x）值域上每一点都有无数个原象与之对应．

Answer 1

（1）f（x）是从（0，1）到[0，1]的一个映射，（跟证明（0，1）与[0，1]中的点一样多等价）
取子序列(1)/(2)，(1)/(4)，(1)/(8)，…，(1)/(2n)，…n∈N^*；
与0，1，(1)/(2)，(1)/(4)，…，进行对应，而其他的点不变，就构成从（0，1）到[0，1]的一个映射f，即函数f（x）满足条件；
（2）f（x）=

2x，x＝(1)/(2n)

3x，x＝(1)/(3n)

0，x＝(1)/(3)

x，x∈(0，1)，x≠(1)/(2n)，x≠(1)/(3n)，n∈N*

①f（x）=x，x∈﹙0，1﹚，且x≠(1)/(2n)，x≠(1)/(3n)时，
f（x）的图象是f（x）=x挖去x=0，x=1，x=(1)/(2n)和x=(1)/(3n)点，除去这些点外时取x=a，
∴f（x）=a只有一解，此时f（x）值域不能取到0，1，(1)/(2n)，(1)/(3n)这些值；
②x=

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作业帮用户 2016-11-19

问题解析

（1）构造函数f（x）是从（0，1）到[0，1]的一个映射，满足定义域是（0，1），值域是[0，1]；
（2）构造分段函数f（x）满足定义域为（0，1），值域为[0，1]且是一一对应的；
（3）构造函数f（x）满足定义域是（0，1），值域是[0，1]，且满足多对一的特征，即f﹙x﹚=a有无穷多个解．

名师点评

本题考点：

函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：

本题考查了构造函数的问题，解题时应结合函数与映射的关系进行解答，是竞赛或压轴题题目．

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