（2014•怀化）设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若1x1+1x2=1，求13−2m的值；（2）求mx11−x1+mx21−x2-m2的最大值．

Question

（2014•怀化）设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）若(1)/(x1)+(1)/(x2)=1，求(1)/(3−2m)的值；
（2）求(mx1)/(1−x1)+(mx2)/(1−x2)-m²的最大值．

Answer 1

∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=4（m-2）²-4（m²-3m+3）=-4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：-1≤m＜1．

（1）∵x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3，
∴(1)/(x1)+(1)/(x2)=(x1+x2)/(x1x2)=(−2(m−2))/(m2−3m+3)=1
解得：m₁=(1−√(5))/(2)，m₂=(1+√(5))/(2)（不合题意，舍去）
∴(1)/(3−2m)=√(5)-2．

（2）(mx1)/(1−x1)+(mx2)/(1−x2)-m²
=(m(x1+x2)−2mx1x2)/(1−(x1+x2)+x1x2)-m²
=-2（m-1）-m²
=-（m+1）²+3．
当m=-1时，最大值为3．