设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组A^kX=0有解向量t,且A^(k-1)t不等于零,证明：向量组t,At,...,A^(k-1)t是线性无关的.（说明,符号“^”代表几次方）!

Question

设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组A^kX=0有解向量t,且A^(k-1)t不等于零,证明：向量组t,At,...,A^(k-1)t是线性无关的.
（说明,符号“^”代表几次方）!

Answer 1

设x1×t＋x2×At＋……＋x(k-1)×A^(k-2)t＋xk×A^(k-1)t＝0,则
0＝A^(k-1)[x1×t＋x2×At＋……＋x(k-1)×A^(k-2)t＋xk×A^(k-1)t]＝x1×A^(k-1)t,所以x1＝0；
0＝A^(k-2)[x1×t＋x2×At＋……＋x(k-1)×A^(k-2)t＋xk×A^(k-1)t]＝x2×A^(k-1)t,所以x2＝0；
……
0＝A[x1×t＋x2×At＋……＋x(k-1)×A^(k-2)t＋xk×A^(k-1)t]＝x(k-1)×A^(k-1)t,所以x(k-1)＝0；
0＝x1×t＋x2×At＋……＋x(k-1)×A^(k-2)t＋xk×A^(k-1)t＝xk×A^(k-1)t,所以xk＝0；
所以,向量组t,At,...,A^(k-1)t线性无关