求所有的三元正整数组(x,y,z),使满足x立方+y立方+z立方-3xyz=2012

Question

求所有的三元正整数组(x,y,z),使满足x立方+y立方+z立方-3xyz=2012

Answer 1

怎么是这个分类...
首先x, y, z为正整数, x³+y³+z³ > 2012, 在x³, y³, z³中至少有一个 > 2012/3 > 670.
x, y, z中至少有一个 > 8, 于是x+y+z > 8.
2012 = x³+y³+z³-3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx).
而2012 = 2²·503, 则x+y+z作为2012的大于8的约数只可能为503, 1006或2012.
① x+y+z = 503, 则x²+y²+z²-xy-yz-zx = 4.
(x-y)²+(y-z)²+(z-x)² = 2(x²+y²+z²-xy-yz-zx) = 8.
8表为三个完全平方数之和只有0+4+4一种方法.
于是x, y, z中有两个相等, 不妨设x = y, 进而有(x-z)² = 4, z = x+2或x-2.
代入x+y+z = 503, 知只有z = x+2的情况有整数解, x = y = 167, z = 169.
得到(167,167,169), (169,167,167), (167,169,167)三组解.
② x+y+z = 1006, 则x²+y²+z²-xy-yz-zx = 2, 即(x-y)²+(y-z)²+(z-x)² = 4.
4表为三个完全平方数之和只有0+0+4一种方法.
由x-y, y-z, z-x中有两个为0可知三者全为0, 故不可能出现0+0+4的情况.
此情况无整数解.
③ x+y+z = 2012, 则x²+y²+z²-xy-yz-zx = 1, 即(x-y)²+(y-z)²+(z-x)² = 2.
2表为三个完全平方数之和只有0+1+1一种方法.
于是x, y, z中有两个相等, 不妨设x = y, 进而有(x-z)² = 1, z = x+1或x-1.
代入x+y+z = 2012, 知只有z = x-1的情况有整数解: x = y = 671, z = 670.
得到(671,671,670), (670,671,671), (671,670,671)三组解.
综上, 共有6组正整数解: (167,167,169), (169,167,167), (167,169,167),
以及(671,671,670), (670,671,671), (671,670,671).