请问：求三元函数f(x,y,z)=x+y+z在曲面S：x平方+y平方=z和平面z=1围成的闭区域D上的最大值和最小值可以直接用拉格朗日法构造函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+m(x方+y方-z)+n(z-1)求极值点么.极值点求得不在D内

Question

请问：求三元函数f(x,y,z)=x+y+z在曲面S：x平方+y平方=z 和平面z=1围成的闭区域D上的最大值和最小值
可以直接用拉格朗日法构造函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+m(x方+y方-z)+n(z-1)求极值点么.极值点求得不在D内部,这样可以么?

Answer 1

严格地讲,用拉格朗日法构造函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+m(x方+y方-z)+n(z-1)来求极值点,需要函数f(x,y,z)、x方+y方-z=0、z-1=0在极值点的某一邻域内具有连续的一阶偏导数(这个可以看一下书),因此,一般情况下,用拉格朗日法求出在D内部的极值点,这样的做法是严谨的.
本题可以先用拉格朗日法求在D内部的极值点(不论在D内部是否存在极值点)；再分别求出函数f(x,y,z)在D的两个边界的最大值和最小值(分别把两个边界的方程代入函数f(x,y,z),求两个二元函数的最大值和最小值).
这就如同在一元函数时,我们借助导数来求区间内部的最值,再把区间端点的函数值考虑进来.