设函数f=√（e^x+x-a)[a∈R,e为自然对数的底数],若存在b∈0,1使f[f(b)]=b成立,则a的取值范围是

Question

设函数f=√（e^x+x-a)[a∈R,e为自然对数的底数],若存在b∈【0,1】使f[f(
b)]=b成立,则a的取值范围是

Answer 1

f=√(e^x+x-a)
存在b∈【0,1】,使得f[f(b)]=b
即 f(b)=f^(-1)(b)
即函数f(x)与其反函数f^(-1)(x)在[0,1]内有交点
∵f=√(e^x+x-a) 为增函数
∴原函数与其反函数图像交点在直线y=x上
即原函数与其反函数图像交点就是f(x)与y=x的交点
∴方程√（e^x+x-a)=x
即e^x+x-a=x²
即 a=e^x+x-x²在[0,1]内有解
设g(x)=e^x+x-x²
g'(x)=e^x+1-2x
∵0≤x≤1
∴ 2≤e^x+1≤e+1
-2≤-2x≤0
∴e^x+1-2x≥0
∴g'(x)≥0,g(x)为增函数
∵ g(x)∈[1,e]
∴a的范围是[1,e]
存在b∈【0,1】,使得f[f(b)]=b即 f(b)=f^(-1)(b)即函数f(x)与其反函数f^(-1)(x)在[0,1]内有交点∵f=√(e^x+x-a) 为增函数∴原函数与其反函数图像交点在直线y=x上 即原函数与其反函数图像交点就是f(x)与y=x的交点∴方程√（e^x+x-a)=x即e^x+x-a=x²即 a=e^x+x-x²在[0,1]内有解 设g(x)=e^x+x-x² g'(x)=e^x+1-2x ∵0≤x≤1 ∴ 2≤e^x+1≤e+1 -2≤-2x≤0 ∴e^x+1-2x≥0∴g'(x)≥0,g(x)为增函数 ∵ g(x)∈[1,e]∴a的范围是[1,e]'
\x09\x09\x09 ,rich:'0'
\x09\x09\x09 \x09\x09\x09 \x09\x09\x09});\x09\x09
追问：
即 f(b)=f^(-1)(b)
没懂
回答：
f[f(b)]=b
两边同时取反函数值
左边就是f(b)右边是f^(-1)(b)
追问：
怎么没见过
回答：
f与f^(-1)互为逆运算.先f在f^(-1)回到原来的数
即f^(-1)[f(x)]=x
f^(-1)[f[f(b)] =f(b)
题目比较偏