（理）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及x1、x2∈D恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）成立，则称f（x）为定义在D上的下凸函数．（1）试

Question

（理）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及x ₁ 、x ₂ ∈D恒有f（αx ₁ +（1-α）x ₂ ）≤αf（x ₁ ）+（1-α）f（x ₂ ）成立，则称f（x）为定义在D上的下凸函数．
（1）试判断函数g（x）=2x（x∈R）， k(x)=(1)/(x)  (x＜0) 是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；
（2）若h（x）=px ² （x∈R）是下凸函数，求实数p的取值范围；
（3）已知f（x）是R上的下凸函数，m是给定的正整数，设f（0）=0，f（m）=2m，记S _f =f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），对于满足条件的任意函数f（x），试求S _f 的最大值．

Answer 1

（1）g（x）=2x是下凸函数，证明如下：
对任意实数x ₁ ，x ₂ 及α∈（0，1），
有g（αx ₁ +（1-α）x ₂ ）-αg（x ₁ ）-（1-α）g（x ₂ ）=2（αx ₁ +（1-α）x ₂ ）-2αx ₁ -2（1-α）x ₂ =0．
即g（αx ₁ +（1-α）x ₂ ）≤αg（x ₁ ）+（1-α）g（x ₂ ）．
∴g（x）=2x是C函数．
k(x)=(1)/(x) (x＜0) 不是下凸函数，证明如下：
取x ₁ =-3，x ₂ =-1， α=(1)/(2) ，
则k（αx ₁ +（1-α）x ₂ ）-αk（x ₁ ）-（1-α）k（x ₂ ）= k(-2)-(1)/(2) k(-3)-(1)/(2) k(-1)=-(1)/(2) +(1)/(6) +(1)/(2) ＞0 ．
即k（αx ₁ +（1-α）x ₂ ）＞αk（x ₁ ）+（1-α）k（x ₂ ）．
∴ k(x)=(1)/(x) (x＜0) 不是下凸函数．
（2）h（x）=px ² 是下凸函数，则对任意实数x ₁ ，x ₂ 及α∈（0，1），
有h（αx ₁ +（1-α）x ₂ ）-αh（x ₁ ）-（1-α）h（x ₂ ）=p（αx ₁ +（1-α）x ₂ ） ² -pαx ₁ ² -p（1-α）x ₂ ² =p[-α（1-α）x ₁ ² -α（1-α）x ₂ ² +2α（1-α）x ₁ x ₂ ]=-pα（1-α）（x ₁ -x ₂ ） ² ≤0．
即当p≥0时，h（αx ₁ +（1-α）x ₂ ）≤αh（x ₁ ）+（1-α）h（x ₂ ）．
∴当p≥0时，h（x）=px ² 是下凸函数．
（3）对任意0≤n≤m，取x ₁ =m，x ₂ =0， α=(n)/(m) ∈[0，1] ．
∵f（x）是R上的下凸函数，a _n =f（n），且a ₀ =0，a _m =2m
∴a _n =f（n）=f（αx ₁ +（1-α）x ₂ ）≤αf（x ₁ ）+（1-α）f（x ₂ ）= (n)/(m) ×2m=2n ．
那么S _f =a ₁ +a ₂ +…+a _m ≤2×（1+2+…+m）=m ² +m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得a _n =2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时S _f =m ² +m．
综上所述，S _f 的最大值为m ² +m．