证明A*x=b必有唯一解设A是n阶矩阵,如对任何n维向量b方程组Ax=b总有解,证明方程组A*x=b必有唯一解

Question

证明A*x=b必有唯一解
设A是n阶矩阵,如对任何n维向量b方程组Ax=b 总有解,证明方程组A*x=b必有唯一解

Answer 1

证明:因为对任何n维向量b方程组Ax=b 总有解,
所以任一n维向量都可由A的列向量组线性表示
特别是n维基本向量组可由A的列向量组线性表示
而任一n维向量都可由n维基本向量组线性表示
所以,A的列向量组与n维基本向量组等价.
故A的列向量组线性无关,所以 r(A)=n.
所以 r(A*) = n.
所以 方程组A*x=b有唯一解.
注意:此题用到多个知识点,是个综合类型的题目
搞定请采纳.