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已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1、x2,设m=f(x1)-f(x2)x1-x2,n=g(x1)-g(x2)x1-x2.现有如下命题:①对于任意不相等的实数x1、
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已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1、x2,设m=
,n=
.现有如下命题:
①对于任意不相等的实数x1、x2,都有m>0;
②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2,都有n>0;
③对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n;
④对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=-n.
其中的真命题有___(写出所有真命题的序号).
f(x1)-f(x2) |
x1-x2 |
g(x1)-g(x2) |
x1-x2 |
①对于任意不相等的实数x1、x2,都有m>0;
②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2,都有n>0;
③对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n;
④对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=-n.
其中的真命题有___(写出所有真命题的序号).
▼优质解答
答案和解析
对于①,由于2>1,由指数函数的单调性可得f(x)在R上递增,即有m>0,则①正确;
对于②,由二次函数的单调性可得g(x)在(-∞,-
)递减,在(-
,+∞)递增,则n>0不恒成立,
则②错误;
对于③,由m=n,可得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2),即为g(x1)-f(x1)=g(x2)-f(x2),
考查函数h(x)=x2+ax-2x,h′(x)=2x+a-2xln2,
当a→-∞,h′(x)小于0,h(x)单调递减,则③错误;
对于④,由m=-n,可得f(x1)-f(x2)=-[g(x1)-g(x2)],考查函数h(x)=x2+ax+2x,
h′(x)=2x+a+2xln2,对于任意的a,h′(x)不恒大于0或小于0,则④正确.
故答案为:①④.
对于②,由二次函数的单调性可得g(x)在(-∞,-
a |
2 |
a |
2 |
则②错误;
对于③,由m=n,可得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2),即为g(x1)-f(x1)=g(x2)-f(x2),
考查函数h(x)=x2+ax-2x,h′(x)=2x+a-2xln2,
当a→-∞,h′(x)小于0,h(x)单调递减,则③错误;
对于④,由m=-n,可得f(x1)-f(x2)=-[g(x1)-g(x2)],考查函数h(x)=x2+ax+2x,
h′(x)=2x+a+2xln2,对于任意的a,h′(x)不恒大于0或小于0,则④正确.
故答案为:①④.
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