假设s×n矩阵A的秩为r.证明Ax=θ的任意n-r个线性无关的解都是其基础解析.

Question

假设s×n矩阵A的秩为r.证明Ax=θ的任意n-r个线性无关的解都是其基础解析.

Answer 1

首先有结论: Ax=0的基础解系含 n-r 个解向量.
证明: 设 a1,...,an-r 是Ax=0的任意n-r个线性无关的解
要证 a1,...,an-r 是Ax=0的基础解系, 只需证 Ax=0 的任一解向量 b 都可由 a1,...,an-r 线性表示.
事实上, a1,...,an-r, b 必线性相关.
(否则 Ax=0 的基础解系至少含 n-r+1 个解向量, 这与已知结论不符.)
所以 b 可由 a1,...,an-r 线性表示
所以 a1,...,an-r 是 Ax=0 的基础解系.