过双曲线x2a2y2b21的右顶点作x轴的垂线与c的一条渐近线相交于A若以C的右焦点为圆心,半径为4的圆经过AO两点,O为坐标原点则双曲线C的方程为

Question

过双曲线x2 a2y2 b2 1的右顶点作x轴的垂线与c的一条渐近线相交
于A若以C的右焦点为圆心,半径为4的圆经过AO两点,O为坐标原点则双曲线C的方程为

Answer 1

由对称关系,不妨设A在第一象限,选取的渐近线为y = bx/a,由题意,右焦点F在线段OA的中垂线上,且c=4,A是x = a与y=bx/a的交点(a,b),∴OA = c
由题意(c-a)^2 + b^2 = 4*4=16 = (4-a)^2+b^2 = (4-a)^2 + 16-a^2,解得a = 2,b^2 = 12
∴双曲线方程为(x^2/4) - (y^2/12) = 1