如图,在矩形ABCD中,AB=4根号3,BC=4.点M是AC上动点,设AM=X,过点M作AC的垂线,交直线AB于点N.

Question

如图,在矩形ABCD中,AB=4根号3,BC=4.点M是AC上动点,设AM=X,过点M作AC的垂线,交直线AB于点N.

Answer 1

题：如图,在矩形ABCD中,AB=4根号3,BC=4．点M是AC上动点（与点A不重合,且M在DN右边）,设AM=x,过点M作AC的垂线,交直线AB于点N．
（1）当△AND的面积为8根号3/3时,求x的值；‍
（2）以D、M、N三点为顶点的△DMN的面积能否达到矩形ABCD面积的1/8?若能,请求出此时x的值；若不能,请说明理由．‍
（1）∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD=4根号3,AD=BC=4,∠B=90°,
∴tan∠CAB=BC/AB=根号3/3,
∴∠CAB=30°,
∵S△AND=1/2×AD×AN=8根号3/3,
∴AN=4根号3/3,
∴AM/AN=根号3/2∴x=AM=2；
（2）能．理由如下：
过D作DH⊥AC,垂足为H,则HM的长等于△DMN中MN边上的高．
有（1）可知∠BAC=∠ADH=30°,
MN=xtan30°=,AH=ADsin30°=AD/2=2,HM=x-2,
矩形面积的1/8为4*4根号3*1/8=2根号3,
由题意列方程得1/2*根号3/3x（x-2）=2根号3,
原方程可化为x2-2x-12=0,
解得：x=1+根号13或x=1-根号13（舍）
答：以D、M、N三点为顶点的△DMN的面积能到矩形ABCD面积的1/8,此时x为1+根号13