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如图,四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形,∠FAB=∠DAB=90°,AF=AB=BC=2,AD=1,FA⊥CD.(1)证明:在平面BCE上,一定存在过点C的直线l与直线DF平行;(2)求二面角FCDA的余弦值.
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如图,四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形,∠FAB=∠DAB=90°,AF=AB=BC=2,AD=1,FA⊥CD. ![]() (1)证明:在平面BCE上,一定存在过点C的直线l与直线DF平行; (2)求二面角FCDA的余弦值. |
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答案和解析
如图,四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形,∠FAB=∠DAB=90°,AF=AB=BC=2,AD=1,FA⊥CD. ![]() (1)证明:在平面BCE上,一定存在过点C的直线l与直线DF平行; (2)求二面角FCDA的余弦值. |
(1)见解析 (2) ![]() |
(1)证明:由已知得,BE∥AF,BC∥AD,BE∩BC=B,AD∩AF=A, ∴平面BCE∥平面ADF. 设平面DFC∩平面BCE=l,则l过点C. ∵平面BCE∥平面ADF,平面DFC∩平面BCE=l, 平面DFC∩平面ADF=DF. ∴DF∥l,即在平面BCE上一定存在过点C的直线l,使得DF∥l. (2)∵FA⊥AB,FA⊥CD,AB与CD相交, ∴FA⊥平面ABCD. 故以A为原点,AD,AB,AF分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.由已知得,D(1,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2), ![]() ∴ ![]() ![]() 设平面DFC的一个法向量为n=(x,y,z), 则 ![]() ![]() 则n=(2,-1,1),不妨设平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1). ∴cos〈m,n〉= ![]() ![]() ![]() 由于二面角FCDA为锐角, ∴二面角FCDA的余弦值为 ![]() |
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