已知抛物线y=3ax2+2bx+c（1）若a=b=1，c=-1求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）若a=13，c=2+b且抛物线在-2≤x≤2区间上的最小值是-3，求b的值；（3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，

Question

已知抛物线y=3ax²+2bx+c
（1）若a=b=1，c=-1求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若a=(1)/(3)，c=2+b且抛物线在-2≤x≤2区间上的最小值是-3，求b的值；
（3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由．

Answer 1

（1）当a=b=1，c=-1时，抛物线为：y=3x²+2x-1，
∵方程3x²+2x-1=0的两个根为：x₁=-1，x₂=(1)/(3)．
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是：（-1，0）和（(1)/(3)，0）；
（2）a=(1)/(3)，c-b=2，则抛物线可化为：y=x²+2bx+b+2，
其对称轴为：x=-b，
当x=-b＜-2时，即b＞2，则有抛物线在x=-2时取最小值为-3，
此时-3=（-2）²+2×（-2）b+b+2，
解得：b=3，符合题意，
当x=-b＞2时，即b＜-2，则有抛物线在x=2时取最小值为-3，此时-3=2²+2×2b+b+2，
解得：b=-(9)/(5)，不合题意，舍去．
当-2≤-b≤2时，即-2≤b≤2，则有抛物线在x=-b时，取最小值为-3，
此时-3=（-b）²+2×（-b）b+b+2，
化简得：b²-b-5=0，
解得：b₁=(1+√(21))/(2)（不合题意，舍去），b₂=(1−√(21))/(2)．
综上：b=3或b=(1−√(21))/(2)．
（3）由y=1得3ax²+2bx+c=1，
△=4b²-12a（c-1），
=4b²-12a（-a-b），
=4b²+12ab+12a²，
=4（b²+3ab+3a²），
=4[（b+(3)/(2)a）²+(3)/(4)a²]，
∵a≠0，△＞0，
所以方程3ax²+2bx+c=1有两个不相等实数根，
即存在两个不同实数x₀，使得相应y=1．