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如图,在⊙O的内接△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.(1)求证:△PAC∽△PDF;(2
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如图,在⊙O的内接△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D,垂足为E.设P是 ![]() (1)求证:△PAC∽△PDF; (2)若AB=5, ![]() (3)在点P运动过程中,设 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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答案和解析
(1)证明见解析;(2) ![]() ![]() |
试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可证明结论. (2)由AC=2BC,设 ![]() ![]() ![]() ![]() (3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得 ![]() ![]() ![]() ![]() 试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B, 又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC. ∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD. 又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF. (2)连接BP,设 ![]() ![]() ![]() ∵△ACE∽△ABC,∴ ![]() ![]() ![]() ∵AB⊥CD,∴ ![]() 如图,连接BP, ∵ ![]() ![]() ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6. 由(1)△PAC∽△PDF得 ![]() ![]() ∴PD的长为 ![]() (3)如图,连接BP,BD,AD, ∵AC=2BC,∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即 ![]() ∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD. ∵ ![]() ![]() ∵△AGP∽△DGB,∴ ![]() ∵△AGD∽△PGB,∴ ![]() ∴ ![]() ![]() ∵ ![]() ![]() ∴ ![]() ![]() ![]() ![]() |
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